А7 Упростите выражение 4ab / ab² - 2b и найдите его значение при a = √5 – 1, b = √5 + 1. В ответ запишите полученное число.

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Вынесем общий множитель \( b \) из знаменателя: \( \frac{4ab}{b(a - 2)} \).
2. Сократим \( b \) (при условии, что \( b \neq 0 \)): \( \frac{4a}{a - 2} \).

Теперь подставим значения \( a = \sqrt{5} - 1 \) и \( b = \sqrt{5} + 1 \). Обратите внимание, что \( b = \sqrt{5} + 1 \neq 0 \) и \( a = \sqrt{5} - 1 \neq 0 \).

Подставляем \( a = \sqrt{5} - 1 \) в упрощённое выражение \( \frac{4a}{a - 2} \):

1. Знаменатель: \( a - 2 = (\sqrt{5} - 1) - 2 = \sqrt{5} - 3 \).
2. Числитель: \( 4a = 4(\sqrt{5} - 1) = 4\sqrt{5} - 4 \).
3. Получаем дробь: \( \frac{4\sqrt{5} - 4}{\sqrt{5} - 3} \).
4. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю \( (\sqrt{5} + 3) \):

\( \frac{(4\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)} = \frac{(4\sqrt{5})(\sqrt{5}) + (4\sqrt{5})(3) - 4(\sqrt{5}) - 4(3)}{(\sqrt{5})^2 - 3^2} \)

\( = \frac{4 \cdot 5 + 12\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 12}{5 - 9} = \frac{20 + 8\sqrt{5} - 12}{-4} = \frac{8 + 8\sqrt{5}}{-4} \)

\( = \frac{8}{-4} + \frac{8\sqrt{5}}{-4} = -2 - 2\sqrt{5} \).

Примечание: Возможно, в условии задания имелось в виду \( ab^2 - 2b \) или \( ab^2 - 2b^2 \), или \( \frac{4ab}{a^2b^2 - 2b^2} \) и т.п. Если выражение было \( \frac{4ab}{ab^2 - 2b} \), то упрощение \( \frac{4a}{a-2} \) верно. Но если в знаменателе \( a^2 b^2 - 2b^2 \), то:

\( \frac{4ab}{b^2(a^2-2)} = \frac{4a}{b(a^2-2)} \). Подставляя значения \( a = \sqrt{5}-1 \) и \( b = \sqrt{5}+1 \):

\( a^2 = (\sqrt{5}-1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5} \).

\( a^2 - 2 = 6 - 2\sqrt{5} - 2 = 4 - 2\sqrt{5} \).

\( b(a^2-2) = (\sqrt{5}+1)(4 - 2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 2(5) + 4 - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 10 + 4 - 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 6 \).

\( 4a = 4(\sqrt{5}-1) = 4\sqrt{5} - 4 \).

\( \frac{4\sqrt{5} - 4}{2\sqrt{5} - 6} = \frac{2(2\sqrt{5} - 2)}{2(\sqrt{5} - 3)} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 3} \).

Умножим на сопряженное \( \sqrt{5}+3 \):

\( \frac{(2\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)} = \frac{2(5) + 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 6}{5 - 9} = \frac{10 + 4\sqrt{5} - 6}{-4} = \frac{4 + 4\sqrt{5}}{-4} = -1 - \sqrt{5} \).

Учитывая, что написание задания может быть неточным, и наиболее вероятно, что имелось в виду упрощение выражения {f \(\frac{4ab}{a^2 b^2 - 2b^2}\)}, найдем его значение.

\( \frac{4ab}{a^2 b^2 - 2b^2} = \frac{4ab}{b^2(a^2-2)} = \frac{4a}{b(a^2-2)} \).

Подставим \( a = f{\sqrt{5} - 1} \) и \( b = f{\sqrt{5} + 1} \):

\( a^2 = (\sqrt{5} - 1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5} \).

\( a^2 - 2 = 6 - 2\sqrt{5} - 2 = 4 - 2\sqrt{5} \).

\( b(a^2-2) = (\sqrt{5} + 1)(4 - 2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 2\cdot 5 + 4 - 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 10 + 4 = 2\sqrt{5} - 6 \).

\( 4a = 4(\sqrt{5} - 1) = 4\sqrt{5} - 4 \).

\( \frac{4a}{b(a^2-2)} = \frac{4\sqrt{5} - 4}{2\sqrt{5} - 6} = \frac{2(2\sqrt{5} - 2)}{2(\sqrt{5} - 3)} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 3} \).

Умножим на сопряжённое \( f{\sqrt{5} + 3} \):

\( \frac{(2\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)} = \frac{2(\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 6}{(\sqrt{5})^2 - 3^2} = \frac{10 + 4\sqrt{5} - 6}{5 - 9} = \frac{4 + 4\sqrt{5}}{-4} = -1 - \sqrt{5} \).

Ответ: -1 - f{\(\sqrt{5}\)}