А9. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB = 12 проведены медиана CF и высота CE, при этом EF = 3√3. Найдите синус меньшего угла треугольника ABC.

Пусть \(E\) — основание высоты на гипотенузу \(AB\), а \(F\) — её середина. Тогда \(AF=FB=6\). Поскольку \(EF=3\sqrt3\), получаем два возможных положения точки \(E\): \(AE=6-3\sqrt3\) или \(AE=6+3\sqrt3\). Они дают один и тот же набор катетов с перестановкой.

Для прямоугольного треугольника квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащую проекцию на гипотенузу. Поэтому квадраты катетов равны \(12(6-3\sqrt3)\) и \(12(6+3\sqrt3)\). Меньший угол лежит напротив меньшего катета, а его синус равен отношению меньшего катета к гипотенузе:

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{12(6-3\sqrt3)}}{12}=\sqrt{\frac{6-3\sqrt3}{12}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).