5. AB — общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 16 см, A и B — точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка AB.

Решение:

Пусть O1 и O2 - центры окружностей радиусами 16 см и 9 см соответственно. Проведем O2C параллельно AB, где C лежит на O1A. Тогда O1O2 = 16 + 9 = 25 см.

O1C = 16 - 9 = 7 см. O2C = AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник O1CO2, где O1O2 - гипотенуза, O1C и O2C - катеты.

По теореме Пифагора: O1O2^2 = O1C^2 + O2C^2

$$ O2C = \sqrt{O1O2^2 - O1C^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 $$

Следовательно, AB = 24 см.

Ответ: AB = 24 см