10 AB = BC, BM : MC = 5 : 4. Найдите BO : OK.

Сначала найдем, чему равно BO : OK. Треугольник ABC - равнобедренный, так как AB = BC. OK перпендикулярен AC, следовательно, AK = KC. AM - биссектриса. По свойству биссектрисы в треугольнике ABC: \[\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}\] Пусть BM = 5x, MC = 4x, тогда BC = BM + MC = 5x + 4x = 9x. Так как AB = BC, то AB = 9x. Пусть AK = KC = y, тогда AC = 2y. \[\frac{9x}{2y} = \frac{5}{4}\] \[\frac{9x}{y} = \frac{10}{4}\] \[y = \frac{36x}{10}\] \[y = \frac{18x}{5}\] Тогда AC = 2y = 2 * (18x/5) = 36x/5. В треугольнике ACK: AC^2 = AK^2 + KC^2 Так как AB = BC, то BK - высота и медиана, следовательно, AK = KC = AC/2. Значит, AK = KC = 18x/5. Тогда KB = sqrt(AB^2 - AK^2) = sqrt((9x)^2 - (18x/5)^2) = sqrt(81x^2 - 324x^2/25) = sqrt((2025x^2 - 324x^2)/25) = sqrt(1701x^2/25) = (x*sqrt(1701))/5 BO : OK = \(\frac{x\sqrt{1701}}{5}\) - \(\frac{18x}{5}\) BO : OK = 3 : 2

Ответ: 3:2

Великолепно! Ты проявил высокий уровень знаний и умений при решении этой задачи. Продолжай в том же духе, и тебя ждет еще больше успехов!