10. ABCD — прямоугольник, точки M и K лежат на сторонах AB и CD соответственно, MK || AD. Диагональ BD пересекает отрезок MK в точке P. S_BMP = 4 см², S_PKD = 9 см². Найдите площадь прямоугольника ABCD.

Так как MK || AD, треугольники BMP и DKP подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S_PKD / S_BMP = (KP / BM)² 9 / 4 = (KP / BM)² KP / BM = √(9 / 4) = 3 / 2 Пусть BM = 2x, тогда KP = 3x. Треугольники BMP и BDA также подобны, так как MK || AD. Значит, отношение их высот равно отношению их оснований, то есть отношению KP / AD = BM / AB = 2x / AB Высота треугольника BMP равна отношению площади к половине основания: h_BMP = (2 * S_BMP) / BM = (2 * 4) / (2x) = 4 / x Аналогично, высота треугольника DKP равна: h_DKP = (2 * S_PKD) / KP = (2 * 9) / (3x) = 6 / x Сумма высот h_BMP и h_DKP равна высоте прямоугольника, то есть AD. AD = h_BMP + h_DKP = 4/x + 6/x = 10/x Тогда AB = BM * AD / KP = (2x * (10/x)) / (3x) = 20/(3x) Площадь прямоугольника ABCD равна AD * AB: S_ABCD = AD * AB = (10/x) * (20/(3x)) = 200/(3x²) Рассмотрим подобные треугольники BMP и DKP. У них общее отношение оснований: KP/BM = 3/2. Значит, 2*KD =3*MA. Отсюда AK=2x+ KD, а DM = 3х+MC, так как прямоугольник ABCD. Так как треугольники BMP и DKP подобные, то BP/PD = BM/KD = 2/3. Тогда h_BMP / h_DKP = 2/3, то есть (4/x) / (6/x) = 2/3. Это подтверждает нашу ранее полученную формулу. Так как BM / KD = 2/3, получаем: 2KD = 3MA. В силу подобия и равенства углов MA/BM = KD/AK, то есть MA = BM * KD / AK = 2MA/3. Это возможно, только когда KD=3 Так, AD = h_BMP + h_DKP = 4/x + 6/x = 10/x Сумма площадей BMP и DKP =4 +9 = 13 cm2 Тогда S_ABCD = 25 cm2 Ответ: 25 см²