10. ABCD — вписанная трапеция. Центр O описанной окружности лежит на большем основании AD, CH — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если AC = 10 см, HD = 4,5 см.

Решение: Так как трапеция ABCD вписана в окружность, то она является равнобедренной. Пусть AD - большее основание, BC - меньшее основание, а CH - высота, опущенная из вершины C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, AH = HD. Так как центр окружности, описанной около трапеции, лежит на большем основании AD, трапеция является равнобедренной и прямоугольной. 1. Найдем AH: AH = HD = 4.5 см 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора: AC^2 = AH^2 + CH^2 10^2 = 4.5^2 + CH^2 100 = 20.25 + CH^2 CH^2 = 79.75 CH = √79.75 ≈ 8.93 см 3. Так как трапеция равнобедренная, BC = AD - 2*HD. И так как центр окружности лежит на AD, то BC = 0 и трапеция является прямоугольным треугольником, что невозможно. 4. В условии опечатка. Условие, что центр окружности лежит на основании $$AD$$ избыточно. Предположим, что $$\angle CAD = 45^\circ$$. Тогда, $$\triangle AHC$$ - равнобедренный и прямоугольный. $$AH = CH$$. По теореме Пифагора, $$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 2AH^2$$. Значит, $$100 = 2AH^2$$. Отсюда, $$AH^2 = 50$$ и $$AH = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$. Тогда $$CH = 5\sqrt{2}$$. $$HD = 4.5$$. Значит, $$AD = AH + HD = 5\sqrt{2} + 4.5$$. Предположим, что $$BC = x$$. Тогда $$AD = x + 2 \cdot HD = x + 9$$. Высота трапеции равна $$CH = 5\sqrt{2}$$. Площадь трапеции равна $$\frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{x + 9 + x}{2} \cdot 5\sqrt{2} = (x + 4.5) \cdot 5\sqrt{2}$$. Не хватает данных для нахождения площади трапеции. Ответ: Недостаточно данных для определения площади трапеции.