3. ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке Е. DF- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые FEи АС перпендикулярны.

Рассмотрим данную задачу по геометрии.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определение перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах.

1. Определение задачи

   Дано: ABCD – квадрат, диагонали пересекаются в точке E, DF перпендикулярна плоскости квадрата.

   Доказать: FE ⊥ AC.

2. Доказательство

   • Так как ABCD – квадрат, то AC ⊥ BD, и E – точка пересечения диагоналей AC и BD.
   • DF перпендикулярна плоскости ABCD, значит DF перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку F, то есть DF ⊥ AC и DF ⊥ BD.
   • Рассмотрим треугольник DEF. Угол DFE – прямой (90°), так как DF перпендикулярна плоскости ABCD.
   • Так как DF ⊥ AC, то FE – проекция DE на плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция (FE) перпендикулярна прямой (AC), лежащей в плоскости, то и сама наклонная (DE) перпендикулярна этой прямой (AC).
   • Следовательно, FE ⊥ AC.

Ответ: Прямые FE и AC перпендикулярны, что и требовалось доказать.