2. \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямой параллелепипед, \(ABCD\) — ромб, \(P_{ABCD} = 20\), \(AC = 8\), \(h = BD\). Найдите \(V\).

Так как \(ABCD\) - ромб, то все его стороны равны. Зная периметр ромба, можно найти сторону: \(P_{ABCD} = 4AB = 20\) \(AB = \frac{20}{4} = 5\) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABO\). По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали \(BO\): \(AB^2 = AO^2 + BO^2\) \(5^2 = 4^2 + BO^2\) \(25 = 16 + BO^2\) \(BO^2 = 25 - 16 = 9\) \(BO = \sqrt{9} = 3\) Тогда \(BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 3 = 6\). Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = \frac{48}{2} = 24\) Так как \(h = BD\), то \(h = 6\). Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \(V = S_{ABCD} \cdot h = 24 \cdot 6 = 144\) Ответ: \(V = 144\)