4. \(ABCDMKA_1B_1C_1D_1M_1K_1\) — правильная призма, \(\angle BMB_1 = 30^\circ\), \(AB = 6\). Найдите \(V\).

Так как призма правильная, то в основании лежит правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести равносторонних треугольников. Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Тогда площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\). В нашем случае, \(AB = a = 6\), поэтому площадь основания \(S\) равна: \(S = \frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \sqrt{3} = 54\sqrt{3}\) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BMB_1\). Угол \(\angle BMB_1 = 30^\circ\). Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то: \(tg(30^\circ) = \frac{BB_1}{MB}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BB_1}{6}\) \(BB_1 = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) Тогда объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V = S \cdot BB_1 = 54\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 54 \cdot 2 \cdot 3 = 108 \cdot 3 = 324\) Ответ: \(V = 324\)