4. $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ - куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение векторов $$\vec{BA_1}$$ и $$\vec{CD}$$.

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром равным 1, вектор $$\vec{CD}$$ равен вектору $$\vec{AB}$$. Тогда $$\vec{BA_1} \cdot \vec{CD} = \vec{BA_1} \cdot \vec{AB}$$.

Представим вектор $$\vec{BA_1}$$ как сумму векторов $$\vec{BA} + \vec{AA_1}$$. Тогда скалярное произведение примет вид:

$$\vec{BA_1} \cdot \vec{AB} = (\vec{BA} + \vec{AA_1}) \cdot \vec{AB} = \vec{BA} \cdot \vec{AB} + \vec{AA_1} \cdot \vec{AB}$$

Так как $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$, то $$\vec{BA} \cdot \vec{AB} = -|\vec{AB}|^2 = -1^2 = -1$$.

Векторы $$\vec{AA_1}$$ и $$\vec{AB}$$ перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно 0: $$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = 0$$.

Следовательно, $$\vec{BA_1} \cdot \vec{AB} = -1 + 0 = -1$$.

Ответ: -1