3. ABCDABC₁D₁ - правильная четы- рехугольная призма с основанием ABCD, AD = 6, ∠BB₁D = 45°. Найдите длину ее диагонали АС₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁D, ∠BB₁D = 45°. Так как призма правильная, то ABCD - квадрат, все углы в квадрате прямые. BB₁ - высота призмы.

Тангенс угла BB₁D равен отношению противолежащего катета BD к прилежащему катету BB₁.

$$tg 45° = \frac{BD}{BB_1}$$.

$$BB_1 = \frac{BD}{tg 45°}$$.

Рассмотрим квадрат ABCD. BD - диагональ квадрата. Диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на √2. BD = 6√2.

$$BB_1 = \frac{6\sqrt{2}}{1} = 6\sqrt{2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC₁. По теореме Пифагора, $$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$$.

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$$.

$$CC_1 = BB_1 = 6\sqrt{2}$$.

$$AC_1^2 = 72 + (6\sqrt{2})^2 = 72 + 36 \cdot 2 = 72 + 72 = 144$$.

$$AC_1 = \sqrt{144} = 12$$.

Ответ: 12.