2. К плоскости с проведен перпендикуляр АС, точка В лежит в плоскости а, из точ- ки С проведен перпендикуляр СК к пря- мой АВ. Известно, что АK = 4, KB = 9. Найдите длину перпендикуляра СК.

Рассмотрим треугольник АВС. СК - перпендикуляр к прямой АВ, следовательно, треугольник АКС - прямоугольный, треугольник СКВ - прямоугольный.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АКС. По теореме Пифагора, $$AC^2 = AK^2 + CK^2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СКВ. По теореме Пифагора, $$BC^2 = KB^2 + CK^2$$.

Рассмотрим треугольник АВС. По теореме косинусов, $$BC^2 = AC^2 + AB^2 -2 cdot AC cdot AB cdot cos \alpha$$.

AB = AK + KB = 4 + 9 = 13.

Так как СК - перпендикуляр к прямой АВ, то $$CK^2 = AK \cdot KB$$.

$$CK^2 = 4 \cdot 9 = 36$$.

CK = √36 = 6.

Ответ: 6.