4. Дан ромб АВCD, периметр которого равен 24, ∠B = 120°. Точка S не при- надлежит плоскости ABCD, ∠SBC= = 90°, ∠SBA = 90°. Найдите длину отрезка SB, если SD = 10.

Периметр ромба равен 24, следовательно, сторона ромба равна 24 : 4 = 6. АВ = ВС = CD = AD = 6.

Рассмотрим треугольник АВС. Угол В равен 120°, следовательно, углы ВАС и ВСА равны (180° - 120°) : 2 = 30°.

Угол SBA равен 90°, угол SBC равен 90°, угол SBD равен углу SBA + углу ABC = 90° + 120° = 210°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABS. По теореме Пифагора, $$AS^2 = SB^2 + AB^2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBS. По теореме Пифагора, $$CS^2 = SB^2 + BC^2$$.

Так как AB = BC, то AS = CS.

Рассмотрим треугольник ASD. По теореме косинусов, $$SD^2 = AS^2 + AD^2 - 2 \cdot AS \cdot AD \cdot cosSAD$$.

100 = AS² + 36 - 2 · AS · 6 · cosSAD.

Рассмотрим треугольник CSD. По теореме косинусов, $$SD^2 = CS^2 + CD^2 - 2 \cdot CS \cdot CD \cdot cosSCD$$.

100 = CS² + 36 - 2 · CS · 6 · cosSCD.

AS = CS, следовательно, cosSAD = cosSCD.

Из прямоугольных треугольников ABS и CBS следует, что AS = CS = √(SB² + 36).

Проведем высоту ВН в ромбе ABCD. ВН = АВ · sin 30° = 6 · 0,5 = 3. AH = AB · cos 30° = 6 · √3/2 = 3√3. HD = AD - AH = 6 - 3√3.

Рассмотрим треугольник SHD. SD² = SH² + HD² = SH² + (6 - 3√3)².

Рассмотрим треугольник SHB. SB² + BH² = SH². SB² + 9 = SH².

SD² = SB² + 9 + (6 - 3√3)² = SB² + 9 + 36 - 36√3 + 27 = SB² + 72 - 36√3 = 100.

SB² = 28 + 36√3.

SB = √(28 + 36√3) ≈ 8.84.

Ответ: √(28 + 36√3) ≈ 8.84.