15. ABCDEFGH - правильный восьмиугольник. Найдите угол ВНЕ. Ответ дайте в градусах.

ABCDEFGH - правильный восьмиугольник.

Сумма углов правильного восьмиугольника равна $$(8-2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ$$.

Каждый угол правильного восьмиугольника равен $$1080^\circ : 8 = 135^\circ$$.

$$\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEF = \angle EFG = \angle FGH = \angle GHA = \angle HAB = 135^\circ$$

Рассмотрим четырехугольник ABHE. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

$$\angle ABH = \angle ABE - \angle HBE$$

Диагональ BE делит правильный восьмиугольник ABCDEFGH на равнобедренную трапецию BCDЕ и четырехугольник ABEH. Значит, диагональ BE является биссектрисой ∠ABC, то есть

$$\angle ABE = \angle HBC = 135^\circ : 2 = 67,5^\circ$$

$$\angle HBE = \angle ABC - (\angle ABE + \angle HBC) = 135^\circ - (67,5^\circ + 67,5^\circ)=0^\circ$$

Найдем углы четырехугольника ABHE.

$$\angle HAB = 135^\circ$$

$$\angle H = 135^\circ$$

$$\angle B = \angle ABE = 67,5^\circ$$

$$\angle E = 360^\circ - (135^\circ + 135^\circ + 67,5^\circ) = 360^\circ - 337,5^\circ= 22,5^\circ$$

$$\angle BHE = 22,5^\circ$$

Ответ: 22,5