9. AD:DC = 2:5, SABC = ?

Пусть AD = 2x, тогда DC = 5x. Значит, AC = AD + DC = 2x + 5x = 7x. Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту. Высота BD общая для треугольников ABD и DBC. Тогда: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} * AC * BD$$ Нужно найти BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$AD^2 + BD^2 = AB^2$$ $$(2x)^2 + BD^2 = 17^2$$ $$4x^2 + BD^2 = 289$$ $$BD^2 = 289 - 4x^2$$ $$BD = \sqrt{289 - 4x^2}$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. По теореме Пифагора: $$CD^2 + BD^2 = BC^2$$ $$(5x)^2 + BD^2 = 25^2$$ $$25x^2 + BD^2 = 625$$ $$BD^2 = 625 - 25x^2$$ Приравняем выражения для BD^2: $$289 - 4x^2 = 625 - 25x^2$$ $$21x^2 = 336$$ $$x^2 = 16$$ $$x = 4$$ Тогда AD = 2x = 2 * 4 = 8, DC = 5x = 5 * 4 = 20, AC = 7x = 7 * 4 = 28. $$BD = \sqrt{289 - 4 * 16} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} * AC * BD = \frac{1}{2} * 28 * 15 = 14 * 15 = 210$$ **Ответ: 210**