Алексей во время тренировки сделал 4 отжимания. На следующий день он поленился и сделал на одно отжимание меньше, чем в первый день. Но на третий день он сделал на 2 отжимания больше, чем во второй. На четвёртый — на одно меньше, чем в третий, на пятый — на 2 больше, чем в четвёртый, и т. д. На какой день после начала занятий Алексей впервые сделает больше 15 отжиманий?

Количество отжиманий в нечётные дни образует последовательность:

1-й день: 4, 3-й день: 5, 5-й день: 6, и так далее. Поэтому в день \(2k-1\) Алексей делает \(k+3\) отжимания.

Найдём первый номер, при котором количество больше 15:

\(k+3>15\), откуда \(k>12\). Минимальное целое \(k=13\).

Тогда номер дня: \(2\cdot13-1=25\).

Ответ: на 25-й день.