Апофема правильной треугольной пирамиды равна 15. Сторона основания 9. Определите площадь боковой поверхности пирамиды и ее боковое ребро.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot a$$, где $$P$$ – периметр основания, $$a$$ – апофема. В нашем случае, $$P = 3 \cdot 9 = 27$$ и $$a = 15$$. Следовательно, $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 15 = 202.5$$. Чтобы найти боковое ребро, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. Высоту пирамиды можно найти, зная, что апофема проецируется в центр основания, который является точкой пересечения медиан (и высот) равностороннего треугольника. Расстояние от центра до стороны в равностороннем треугольнике составляет $$\frac{1}{3}$$ высоты треугольника основания. Высота основания $$h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$. Тогда проекция апофемы равна $$\frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$. Теперь, зная апофему и ее проекцию, можно найти высоту пирамиды $$H$$ из прямоугольного треугольника: $$H = \sqrt{15^2 - (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{225 - \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{900 - 27}{4}} = \sqrt{\frac{873}{4}} = \frac{\sqrt{873}}{2}$$. Далее, найдем расстояние от вершины основания до центра основания. Это $$\frac{2}{3}$$ высоты основания, т.е. $$\frac{2}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$. Теперь можно найти боковое ребро $$b$$: $$b = \sqrt{H^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{873}{4} + 27} = \sqrt{\frac{873 + 108}{4}} = \sqrt{\frac{981}{4}} = \frac{\sqrt{981}}{2} = \frac{9\sqrt{12.13}}{2} \approx 15.66$$. Ответ: Площадь боковой поверхности равна 202.5. Боковое ребро примерно равно 15.66.