3. Арифметическая прогрессия 4, 7, 10... и геометрическая прогрессия 2, 4, 8... имеют по 40 членов. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

Арифметическая прогрессия: 4, 7, 10, ... Геометрическая прогрессия: 2, 4, 8, ... Арифметическая прогрессия задается формулой $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, где $$a_1 = 4$$ и $$d = 3$$. Геометрическая прогрессия задается формулой $$b_n = b_1 * q^(n-1)$$, где $$b_1 = 2$$ и $$q = 2$$. Нужно найти, сколько членов в обеих прогрессиях совпадают. Выпишем первые несколько членов обеих прогрессий: Арифметическая: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, ... Геометрическая: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Общие члены: 4, 16, 64, ... Заметим, что общие члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 4. Общий член можно представить в виде $$c_n = 4^n$$. Арифметическая прогрессия имеет 40 членов, то есть $$a_{40} = 4 + (40-1)*3 = 4 + 39*3 = 4 + 117 = 121$$. Геометрическая прогрессия имеет 40 членов, то есть $$b_{40} = 2 * 2^(39) = 2^(40)$$. Теперь надо найти, сколько членов вида $$4^n$$ меньше или равны 121. $$4^1 = 4$$ $$4^2 = 16$$ $$4^3 = 64$$ $$4^4 = 256$$ Только 4, 16 и 64 меньше или равны 121. Значит, есть только три общих члена. Ответ: 3