9. АВ – перпендикуляр к плоскости α. АС и AD – наклонные к α. L ACB = 45°, AC = 8√2, BD = 6. Найдите: AD.

Пошаговое решение:

1. Так как AB перпендикулярно плоскости α, то треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом B.
2. Известно, что угол ACB равен 45 градусам, следовательно, угол BAC тоже равен 45 градусам (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам).
3. Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, то есть AB = BC.
4. По теореме Пифагора: AC² = AB² + BC². Так как AB = BC, то AC² = 2AB².
5. Подставляем известные значения: (8√2)² = 2AB²; 128 = 2AB²; AB² = 64; AB = 8.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (так как AB перпендикулярно плоскости α). По теореме Пифагора: AD² = AB² + BD².
7. Подставляем известные значения: AD² = 8² + 6²; AD² = 64 + 36; AD² = 100.
8. Следовательно, AD = √100 = 10.

Ответ: 10