АВ и ВС-отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. OB=10, AO=5. Чему равен ∠AOC?

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OAB = ∠OCB = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB. Известно, что OB = 10 и OA = 5. Заметим, что OA = 1/2 * OB, то есть катет OA равен половине гипотенузы OB. Это означает, что угол ∠ABO равен 30° (т.к. напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы).

Найдем угол ∠AOB:

$$∠AOB = 90° - ∠ABO = 90° - 30° = 60°$$

Треугольники OAB и OCB равны (OB - общая, OA=OC как радиусы, ∠OAB=∠OCB=90). Следовательно, ∠COB = ∠AOB = 60°.

Теперь найдем угол ∠AOC:

$$∠AOC = ∠AOB + ∠COB = 60° + 60° = 120°$$

Ответ: ∠AOC = 120°