АВС, если: а) AC = 4, AB = 5; 6) AC=15, 5. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен ь, а противолежан угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: a) b = 10, ∠B = 45°; 6) b=15, ∠B=60°; в) 6=3√3.∠B=30°.

Решение:

a) Дано: b = 10, ∠B = 45°

В прямоугольном треугольнике против угла B лежит катет b, значит, $$b=a$$, так как углы при основании равны. Тогда другой катет $$a = 10$$.

Для нахождения гипотенузы c используем теорему Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$. Подставляем известные значения: $$c^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$$. Таким образом, $$c = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$.

б) Дано: b = 15, ∠B = 60°

Найдем другой катет a, используя тангенс угла B: $$tg(B) = \frac{b}{a}$$. $$tg(60°) = \sqrt{3}$$, значит $$\sqrt{3} = \frac{15}{a}$$. Отсюда $$a = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$$.

Для нахождения гипотенузы c используем синус угла B: $$sin(B) = \frac{b}{c}$$. $$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, значит $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{c}$$. Отсюда $$c = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$$.

в) Дано: $$b = 3\sqrt{3}$$, ∠B = 30°

Найдем другой катет a, используя тангенс угла B: $$tg(B) = \frac{b}{a}$$. $$tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, значит $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{a}$$. Отсюда $$a = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$$.

Для нахождения гипотенузы c используем синус угла B: $$sin(B) = \frac{b}{c}$$. $$sin(30°) = \frac{1}{2}$$, значит $$\frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{c}$$. Отсюда $$c = 3\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$$.

Ответ: a) a = 10, $$c = 10\sqrt{2}$$; б) $$a = 5\sqrt{3}$$, $$c = 10\sqrt{3}$$; в) a = 9, $$c = 6\sqrt{3}$$