5. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен Ъ, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: a) b = 20, ∠B = 45°; 6) b =10, ∠B=60°; в) b =4√3, ∠B=30°.

5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен B. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если:

a) Дано: b = 20, ∠B = 45°.

Поскольку угол B равен 45°, другой угол также равен 45°, следовательно, треугольник равнобедренный, и другой катет a = b = 20.

Гипотенузу c найдем по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$$.

б) Дано: b = 10, ∠B = 60°.

Найдем другой катет a, используя тангенс угла B: $$tg(B) = \frac{b}{a}$$. $$tg(60°) = \sqrt{3}$$, значит $$\sqrt{3} = \frac{10}{a}$$. Отсюда $$a = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$.

Для нахождения гипотенузы c используем синус угла B: $$sin(B) = \frac{b}{c}$$. $$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, значит $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{c}$$. Отсюда $$c = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$.

в) Дано: $$b = 4\sqrt{3}$$, ∠B = 30°.

Найдем другой катет a, используя тангенс угла B: $$tg(B) = \frac{b}{a}$$. $$tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, значит $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{a}$$. Отсюда $$a = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$$.

Для нахождения гипотенузы c используем синус угла B: $$sin(B) = \frac{b}{c}$$. $$sin(30°) = \frac{1}{2}$$, значит $$\frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{c}$$. Отсюда $$c = 4\sqrt{3} \cdot 2 = 8\sqrt{3}$$.

Ответ: a) a = 20, $$c = 20\sqrt{2}$$; б) $$a = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$, $$c = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$; в) a = 12, $$c = 8\sqrt{3}$$