АЗ Найдите второй двучлен в разложении на множители квадратного трехчлена: 4x² - 7x + 3 = 3(x - 1)(...)

Решение:

Разложим квадратный трехчлен \( 4x^2 - 7x + 3 \) на множители. Для этого найдём его корни:

1. Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 \).
2. Найдём корни:
• \( x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).
• \( x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).
3. Разложение квадратного трёхчлена имеет вид: \( a(x - x_1)(x - x_2) \). В нашем случае: \( 4(x - 1)(x - \frac{3}{4}) \).
4. Мы знаем, что \( 4(x - 1)(x - \frac{3}{4}) = (x-1) \cdot 4(x - \frac{3}{4}) = (x-1)(4x - 3) \).
5. Сравнивая полученное разложение \( (x-1)(4x - 3) \) с данным \( 3(x - 1)(...) \), мы видим, что предоставленное в задании разложение неверно. По условию задачи, должно быть \( 4x^2 - 7x + 3 = 4(x-1)(x - 3/4) \).
6. Если предположить, что \( 3(x-1) \) — это ошибка и должно быть \( 4(x-1) \), тогда второй множитель будет \( (x - 3/4) \).
7. Если же предположить, что \( 4x^2 - 7x + 3 \) неправильно записан, а \( 3(x-1) \) верно, тогда \( 4x^2 - 7x + 3 = 3(x-1)(x-k) \). \( 4x^2 - 7x + 3 = 3x - 3(x-k) = 3x - 3x + 3k \). \( 4x^2 - 7x + 3 = 3k \). Это не соответствует условию, так как коэффициенты при \( x^2 \) и \( x \) не совпадают.
8. Исходя из того, что \( 4x^2 - 7x + 3 \) — это верный квадратный трехчлен, а \( 3(x-1) \) — неверно записанный множитель, мы можем определить правильное разложение: \( 4x^2 - 7x + 3 = 4(x-1)(x - 3/4) = (x-1)(4x-3) \).
9. Таким образом, второй двучлен — это \( (4x - 3) \).

Ответ: (4x - 3)