Б 4) 2^(x^2) = a. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от а?

Решение:

Рассмотрим функцию y = 2^x2.

1. Область определения: x ∈ R.
2. Область значений:
• Так как x² ≥ 0, то 2^x2 ≥ 2⁰ = 1.
• Следовательно, область значений функции y = 2^x2 — [1; +∞).
3. График функции: График симметричен относительно оси Oy, так как функция четная (2^(-x)2 = 2^x2). При x=0, y=1. При |x| → ∞, y → ∞.
4. Анализ уравнения 2^x2 = a:
• Если a < 1: Уравнение не имеет решений, так как область значений функции [1; +∞).
• Если a = 1: Уравнение имеет одно решение. 2^x2 = 1 => x² = 0 => x = 0.
• Если a > 1: Уравнение имеет два решения. 2^x2 = a => x² = log₂a. Так как a > 1, то log₂a > 0. Следовательно, x = ±√log₂a.

Ответ:

• При a < 1 — 0 решений.
• При a = 1 — 1 решение.
• При a > 1 — 2 решения.