B3. Сумма гипотенузы CE и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины C до прямой DE.

Решение: 1. Пусть (CE = x), (CD = y). 2. По условию задачи, имеем систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 31 \\ x - y = 3 \end{cases} \] 3. Сложим уравнения: (2x = 34), откуда (x = 17) см (CE). 4. Тогда (y = 31 - x = 31 - 17 = 14) см (CD). 5. По теореме Пифагора найдем DE: (DE = \sqrt{CE^2 - CD^2} = \sqrt{17^2 - 14^2} = \sqrt{289 - 196} = \sqrt{93}) см. 6. Площадь треугольника CDE равна (\frac{1}{2} \cdot CD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \sqrt{93} = 7\sqrt{93}) см(^2). 7. Высота CH (расстояние от C до DE) равна (CH = \frac{2 \cdot \text{площадь}}{DE} = \frac{2 \cdot 7\sqrt{93}}{\sqrt{93}} = 14) см. Ответ: **14 см**