B3. Все рёбра правильной пирамиды $$SABCD$$ равны 4, точки $$T$$ и $$P$$ – середины рёбер $$BS$$ и $$DS$$. Найдите длину вектора, равного сумме векторов $$\vec{BP} + \vec{PT} + \vec{AB}$$.

Для решения данной задачи воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами правильной пирамиды. $$\vec{BP} + \vec{PT} + \vec{AB}$$ = $$(\vec{BP} + \vec{PT}) + \vec{AB}$$ = $$\vec{BT} + \vec{AB}$$ = $$\vec{AT}$$. Теперь нужно найти длину вектора $$\vec{AT}$$. Так как все ребра пирамиды равны 4, то боковые грани являются равносторонними треугольниками. Точка $$T$$ - середина ребра $$BS$$, следовательно $$BT=2$$. Рассмотрим треугольник $$ABT$$. Нам известны стороны $$AB = 4$$, $$BT = 2$$ и угол между ними $$\angle ABT = 60^{\circ}$$ (так как треугольник $$SBC$$ равносторонний). Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны $$AT$$: $$AT^2 = AB^2 + BT^2 - 2 cdot AB cdot BT cdot \cos{\angle ABT}$$ = $$4^2 + 2^2 - 2 cdot 4 cdot 2 cdot \cos{60^{\circ}}$$ = $$16 + 4 - 16 cdot 0.5$$ = $$20 - 8 = 12$$. $$AT = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$. Длина вектора $$\vec{AT}$$ равна $$2\sqrt{3}$$. Ответ: $$2\sqrt{3}$$