B1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AK и CM. BK = 8 см, AM = 5 см. Найдите длину боковой стороны треугольника ABC.

Обозначим боковую сторону через x: AB = BC = x. Тогда MB = x − 5, а KC = x − 8.

По теореме о биссектрисе для AK и CM:

\(\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MB}{AM}\).

Подставим известные длины:

\(\dfrac{8}{x-8}=\dfrac{x-5}{5}\).

Перемножим крест-накрест: \(40=(x-8)(x-5)\), откуда \(x^2-13x=0\). Получаем x = 13 или x = 0. Длина стороны положительна и больше BK = 8, поэтому подходит только x = 13.

Ответ: 13 см.