B2. Найдите точки пересечения параболы \( y = x^2 \) и прямой \( y = 2x + 3 \).

Решение:

Чтобы найти точки пересечения параболы и прямой, нужно приравнять их уравнения, так как в точках пересечения значения \( y \) совпадают:

\( x^2 = 2x + 3 \)

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в любое из исходных уравнений (например, \( y = x^2 \)):

При \( x_1 = 3 \): \( y_1 = 3^2 = 9 \).

При \( x_2 = -1 \): \( y_2 = (-1)^2 = 1 \).

Точки пересечения имеют координаты \( (3; 9) \) и \( (-1; 1) \).

Ответ: Точки пересечения: (3; 9) и (-1; 1).