B2. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите: а) наибольший угол треугольника; б) радиус описанной около треугольника окружности.

Чертёж (схематический):

Наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны, то есть напротив стороны 15 см.

а) Наибольший угол. Обозначим его \(C\). По теореме косинусов:

\(\cos C=\frac{13^2+14^2-15^2}{2\cdot13\cdot14}=\frac{140}{364}=\frac{35}{91}\).

Тогда \(C=\arccos\left(\frac{35}{91}\right)\approx67.38^\circ\), или примерно \(67^\circ\) до целого градуса.

б) Радиус описанной окружности. Полупериметр \(p=\frac{13+14+15}{2}=21\) см. По формуле Герона:

\(S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\) см².

Используем формулу \(R=\frac{abc}{4S}\):

\(R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}=8.125\) см.

Ответ: а) примерно 67°; б) \(\frac{65}{8}\) см, или 8,125 см.