B2. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) задано: ∠A = α, AC = c, AE — биссектриса. Найдите длину AE.

Поскольку \(AB=BC\), углы при основании равны: \(\angle A=\angle C=\alpha\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin\alpha}=\dfrac{AC}{\sin2\alpha}\), поэтому

\(AB=\dfrac{c\sin\alpha}{\sin2\alpha}=\dfrac{c}{2\cos\alpha}\).

Применим формулу длины биссектрисы:

\(AE=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos(\alpha/2)}{AB+AC}\).

Подставим найденное значение \(AB\):

\(AE=\dfrac{2\cdot\dfrac{c}{2\cos\alpha}\cdot c\cdot\cos(\alpha/2)}{\dfrac{c}{2\cos\alpha}+c}=\dfrac{2c\cos(\alpha/2)}{1+2\cos\alpha}\).

Ответ: \(AE=\dfrac{2c\cos(\alpha/2)}{1+2\cos\alpha}\).