C1. В параллелограмме ABCD диагональ AC разбивает угол C на два угла: α и 3α, AC = c. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Угол \(C\) параллелограмма равен \(4\alpha\). Обозначим \(BC=x\), \(CD=y\).

Из разложения диагонали на составляющие перпендикулярно и вдоль неё:

\(x\sin3\alpha=y\sin\alpha\), откуда \(y=\dfrac{x\sin3\alpha}{\sin\alpha}\).

Для длины диагонали:

\(c=x\cos3\alpha+y\cos\alpha=x\dfrac{\sin4\alpha}{\sin\alpha}\).

Следовательно,

\(x=\dfrac{c\sin\alpha}{\sin4\alpha}\), \(y=\dfrac{c\sin3\alpha}{\sin4\alpha}\).

Площадь параллелограмма:

\(S=xy\sin4\alpha\).

Подставляя значения сторон, получаем:

\(S=\dfrac{c\sin\alpha}{\sin4\alpha}\cdot\dfrac{c\sin3\alpha}{\sin4\alpha}\cdot\sin4\alpha\).

Ответ: \(S=\dfrac{c^2\sin\alpha\sin3\alpha}{\sin4\alpha}\).