B5. В треугольнике ABC медиана СК равна отрезку АК. Угол А равен углу В. Найдите угол А.

Решение:

Если угол А равен углу В, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, AC = BC.

Если медиана СК равна отрезку АК, то треугольник ACK — равнобедренный (AC = CK). Это означает, что угол CAK (угол A) равен углу CKA.

Если медиана СК равна отрезку BK, то треугольник BCK — равнобедренный (BC = CK). Это означает, что угол CBK (угол B) равен углу CKB.

В равнобедренном треугольнике ABC, AC = BC. Так как медиана CK равна отрезку AK, то AK = BK = CK (поскольку CK — медиана, то AK = BK).

Если AK = CK, то треугольник ACK — равнобедренный. Угол A = Угол ACK.

Если BK = CK, то треугольник BCK — равнобедренный. Угол B = Угол BCK.

Так как AC = BC, то угол A = угол B.

В треугольнике ACK: Угол A + Угол ACK + Угол CKA = 180°.

Так как AK = BK, и CK — медиана, то AB = 2*AK.

Рассмотрим треугольник ACK. Угол A = Угол ACK. Угол CKA = 180° - 2 * Угол A.

Рассмотрим треугольник BCK. Угол B = Угол BCK. Угол CKB = 180° - 2 * Угол B.

Угол CKA + Угол CKB = 180° (развернутый угол C).

180° - 2 * Угол A + 180° - 2 * Угол B = 180°.

360° - 2 * (Угол A + Угол B) = 180°.

2 * (Угол A + Угол B) = 180°.

Угол A + Угол B = 90°.

Так как Угол A = Угол B, то 2 * Угол A = 90°.

Угол A = 45°.

Проверим: если Угол A = 45°, то Угол B = 45°. Угол C = 180° - 45° - 45° = 90°.

Если Угол C = 90°, то треугольник ABC — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. CK = AK = BK = AB/2. Это выполняется.

Ответ: 45°.