10. (2 бали) При якому значенні $$a$$ рівняння $$3x^2 - 6x + a = 0$$ має один корінь? Знайдіть цей корінь.

Рівняння має один корінь, коли дискримінант дорівнює нулю. $$D = b^2 - 4ac = 0$$ У нашому випадку $$a = 3$$, $$b = -6$$, $$c = a$$. $$(-6)^2 - 4 cdot 3 cdot a = 0$$ $$36 - 12a = 0$$ $$12a = 36$$ $$a = \frac{36}{12} = 3$$ Отже, при $$a = 3$$ рівняння має один корінь. Щоб знайти корінь, розв'яжемо рівняння $$3x^2 - 6x + 3 = 0$$: $$3(x^2 - 2x + 1) = 0$$ $$3(x - 1)^2 = 0$$ $$(x - 1)^2 = 0$$ $$x - 1 = 0$$ $$x = 1$$ Відповідь: $$a = 3$$, корінь $$x = 1$$.