7. (2 балла) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины общего перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2:3 и длины наклонных равны 23 см и 33 см.

Пусть h - длина перпендикуляра, x и y - проекции наклонных, a = 23 см и b = 33 см - длины наклонных. По условию \(\frac{x}{y} = \frac{2}{3}\), следовательно, \(x = \frac{2}{3}y\). По теореме Пифагора для каждой наклонной: \[h^2 + x^2 = a^2\] \[h^2 + y^2 = b^2\] Выразим \(h^2\) из каждого уравнения: \[h^2 = a^2 - x^2 = 23^2 - x^2 = 529 - x^2\] \[h^2 = b^2 - y^2 = 33^2 - y^2 = 1089 - y^2\] Приравняем выражения для \(h^2\): \[529 - x^2 = 1089 - y^2\] \[y^2 - x^2 = 1089 - 529 = 560\] Подставим \(x = \frac{2}{3}y\): \[y^2 - \left(\frac{2}{3}y\right)^2 = 560\] \[y^2 - \frac{4}{9}y^2 = 560\] \[\frac{5}{9}y^2 = 560\] \[y^2 = \frac{9}{5} \cdot 560 = 9 \cdot 112 = 1008\] \[y = \sqrt{1008} = 12\sqrt{7}\] Теперь найдем \(h^2\): \[h^2 = 1089 - y^2 = 1089 - 1008 = 81\] \[h = \sqrt{81} = 9\text{ см}\] Ответ: \(\textbf{9}\) см.