5. (3 балла) На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС отметили точку D так, что АС = AD, а на продолжении боковой стороны АВ — точку Е так, что ∠BAD = ∠ACE. Докажите, что ВС = СЕ.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ACD. Так как AC = AD, то треугольник ACD - равнобедренный. Следовательно, углы при основании CD равны: ∠ACD = ∠ADC.

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AB равны: ∠BAC = ∠ABC.

По условию ∠BAD = ∠ACE.

Тогда ∠BAC - ∠BAD = ∠ABC - ∠ACE.

Следовательно, ∠DAC = ∠BCE.

Рассмотрим треугольники ADC и CBE.

AC = AD (по условию), ∠ADC = ∠BCE, ∠DAC = ∠ACE.

Следовательно, треугольники ADC и CBE равны по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из равенства треугольников ADC и CBE следует, что BC = CE.

Ответ: доказано.