12.(5 баллов) Докажите, что выражение 64³ – 8⁵ – 4⁷ кратно 13.

12. Докажем, что выражение $$64^3 - 8^5 - 4^7$$ кратно 13.

Представим каждое число как степень двойки:

$$64^3 - 8^5 - 4^7 = (2^6)^3 - (2^3)^5 - (2^2)^7 = 2^{18} - 2^{15} - 2^{14}$$

Вынесем общий множитель $$2^{14}$$ за скобки:

$$2^{14}(2^4 - 2^1 - 1) = 2^{14}(16 - 2 - 1) = 2^{14} \cdot 13$$

Т.к. один из множителей равен 13, то и все выражение кратно 13.

Ответ: Выражение $$64^3 - 8^5 - 4^7$$ кратно 13.