12.(5 баллов) Докажите, что выражение 64³ - 8⁵ - 4⁷ кратно 13.

Докажем, что выражение $$64^3 - 8^5 - 4^7$$ кратно 13. Преобразуем выражение: $$(4^3)^3 - (4 \cdot 2)^5 - 4^7 = 4^9 - 4^5 \cdot 2^5 - 4^7 = 4^7(4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (\frac{1}{4})^2 - 1) = 4^7(16 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{16} - 1) = 4^7(15 - \frac{8}{16}) = 4^7(15 - \frac{1}{2}) = 4^7 \cdot (\frac{29}{2})$$. $$64^3 - 8^5 - 4^7 = (4^3)^3 - (2^3)^5 - (2^2)^7 = 2^{18} - 2^{15} - 2^{14} = 2^{14}(2^4 - 2 - 1) = 2^{14}(16 - 2 - 1) = 2^{14} \cdot 13$$. Так как выражение $$64^3 - 8^5 - 4^7 = 2^{14} \cdot 13$$, то оно кратно 13.

Ответ: Выражение $$64^3 - 8^5 - 4^7$$ кратно 13