10. (5 баллов) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение = 4- (p - 7)x² + 12x + 4 = 0 имеет единственный корень.

Рассмотрим уравнение $$(p - 7)x^2 + 12x + 4 = 0$$. Уравнение имеет единственный корень в двух случаях:

1. Если это уравнение является линейным, то есть коэффициент при $$x^2$$ равен нулю, а коэффициент при x не равен 0.
2. Если это уравнение является квадратным и имеет один корень, то есть дискриминант равен нулю.

1. Уравнение является линейным, если $$p - 7 = 0$$, то есть $$p = 7$$. Тогда уравнение примет вид: $$12x + 4 = 0$$, откуда $$x = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$$. То есть при p = 7 уравнение имеет единственный корень.

2. Уравнение является квадратным, если $$p - 7
e 0$$. В этом случае уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю:

$$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot (p - 7) \cdot 4 = 144 - 16(p - 7)$$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$$144 - 16(p - 7) = 0$$

$$144 - 16p + 112 = 0$$

$$256 - 16p = 0$$

$$16p = 256$$

$$p = \frac{256}{16} = 16$$

Итак, уравнение имеет единственный корень при $$p = 7$$ и при $$p = 16$$.

Ответ: 7, 16.