11. (5 баллов) Не вычисляя корней х₁ и х₂ уравнения 3х2 – 15х + 7, найдите х³ + x2.

Дано квадратное уравнение: $$3x^2 - 15x + 7 = 0$$. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни этого уравнения. Необходимо найти $$x_1^3 + x_2^3$$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-15}{3} = 5$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{3}$$

Преобразуем выражение $$x_1^3 + x_2^3$$:

$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$$.

Подставим известные значения:

$$x_1^3 + x_2^3 = 5 \cdot (5^2 - 3 \cdot \frac{7}{3}) = 5 \cdot (25 - 7) = 5 \cdot 18 = 90$$

Ответ: 90.