b a С2 Докажите, что ∫f(x)dx = ∫(-f(x))dx. a b

Ответ: Доказано

• Рассмотрим интеграл: \[\int_a^b f(x) \, dx\]
• Сделаем замену переменной: \[x = -t\] Тогда \[dx = -dt\]
• Изменим пределы интегрирования: Если \[x = a\] то \[t = -a\] Если \[x = b\] то \[t = -b\]
• Подставим замену в интеграл: \[\int_a^b f(x) \, dx = \int_{-a}^{-b} f(-t) (-dt) = - \int_{-a}^{-b} f(-t) \, dt\]
• Поменяем местами пределы интегрирования, изменив знак интеграла: \[- \int_{-a}^{-b} f(-t) \, dt = \int_{-b}^{-a} f(-t) \, dt\]
• Учитывая, что переменная интегрирования не влияет на результат, можем заменить \[t\] на \[x\]: \[\int_{-b}^{-a} f(-t) \, dt = \int_{-b}^{-a} f(-x) \, dx\]
• Таким образом, \[\int_a^b f(x) \, dx = \int_{-b}^{-a} f(-x) \, dx\]
• Теперь рассмотрим интеграл: \[\int_b^a (-f(x)) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\]
• Но это и значит, что \[\int_b^a (-f(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\]
• Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано