В1 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х – х² и у = 0. Ответ:

Ответ: 36

• Найдем точки пересечения параболы \(y = 6x - x^2\) с осью Ox (\(y = 0\)): \[6x - x^2 = 0\] \[x(6 - x) = 0\] Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\)
• Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла: \[S = \int_0^6 (6x - x^2) \, dx\]
• Интегрируем функцию: \[\int (6x - x^2) \, dx = 6 \int x \, dx - \int x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x^2 - \frac{x^3}{3}\]
• Вычислим значение интеграла в пределах интегрирования: \[S = \left(3x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_0^6 = \left(3(6)^2 - \frac{(6)^3}{3}\right) - \left(3(0)^2 - \frac{(0)^3}{3}\right)\] \[S = 3 \cdot 36 - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36\]

Ответ: 36