Билет 2. 4. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 32°.

Пусть биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает продолжение стороны AC в точке D. Так как BD || AC, то угол DBC равен углу ACB как накрест лежащие углы.

Внешний угол при вершине B равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть углу A и углу C: $$∠ABD = ∠A + ∠C$$

Биссектриса BD делит внешний угол ABD пополам, следовательно, ∠ABD = 2*∠DBC. Так как ∠DBC = ∠ACB, то ∠ABD = 2*∠ACB.

Итак, получаем: $$2*∠ACB = ∠CAB + ∠ACB$$

Отсюда: $$∠ACB = ∠CAB$$

Сумма углов треугольника равна 180°: $$∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°$$

Подставляем известные значения: $$∠CAB + 32° + ∠CAB = 180°$$

$$2*∠CAB = 180° - 32° = 148°$$

$$∠CAB = 148° / 2 = 74°$$

Ответ: ∠CAB = 74°