Билет 3. 4. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Пусть углы треугольника относятся как 1:2:3, тогда можно записать их как x, 2x, 3x. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Следовательно,

$$x + 2x + 3x = 180$$

$$6x = 180$$

$$x = 30$$

Значит, углы треугольника равны: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.

Так как BM - биссектриса угла B, то ∠ABM = ∠MBC = ∠B/2 = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠A = 30°, ∠ABM = 30°, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AM = BM = 6.

Теперь рассмотрим треугольник BMC. В нем ∠MBC = 30°, ∠C = 90°. Значит, ∠BMC = 180° - 90° - 30° = 60°.

Применим теорему синусов для треугольника BMC:

$$\frac{MC}{\sin∠MBC} = \frac{BM}{\sin∠C}$$

$$\frac{MC}{\sin30°} = \frac{6}{\sin90°}$$

$$\frac{MC}{0.5} = \frac{6}{1}$$

$$MC = 6 * 0.5 = 3$$

Ответ: MC = 3