Билет № 14 1) Сформулируйте теоремы об углах между касательной и хордой, между двумя хордами, между двумя секущими. 2) Сформулируйте И докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции. 3) Сторона равностороннего треугольника равна 163. Найдите медиану этого треугольника. 4) Биссектриса угла А параллелограмма АABCD пересекает его сторону ВС в точке Е. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если ВЕ=7, ЕС=3, ∠ ABC=150°

Билет № 14

1) Теоремы об углах:

• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними.
• Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, заключенных между хордами.
• Угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между секущими.

2) Свойство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

3) Медиана равностороннего треугольника:

Пошаговое решение:

1. Сторона равностороннего треугольника равна \( 16\sqrt{3} \).
2. Медиана равностороннего треугольника является также его высотой.
3. Высота в равностороннем треугольнике может быть найдена по формуле: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) – сторона треугольника.
4. Подставляем значение стороны: \( h = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24 \).

Ответ: Медиана этого треугольника равна 24.

4) Площадь параллелограмма:

Пошаговое решение:

1. \( BE = 7 \), \( EC = 3 \), следовательно, \( BC = BE + EC = 7 + 3 = 10 \).
2. \( \angle ABC = 150^\circ \), значит, смежный угол \( \angle BAD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \).
3. Биссектриса угла \( A \) делит угол \( BAD \) пополам, поэтому \( \angle BAE = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ \).
4. Высота параллелограмма, проведенная из вершины \( B \) к стороне \( AD \), равна \( h = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).
5. Площадь параллелограмма: \( S = a \cdot h = BC \cdot h = 10 \cdot 5 = 50 \).

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 50.