Билет №5. 3. Задача на тему «Треугольники». В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найти медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.

Решим задачу №3 из билета №5:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC, стороны AB и AC равны. Медиана AM, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой.

Периметр треугольника ABC равен:

$$P_{ABC} = AB + BC + AC = 32 \text{ см}$$

Периметр треугольника ABM равен:

$$P_{ABM} = AB + BM + AM = 24 \text{ см}$$

Так как AM - медиана, то она делит сторону BC пополам, то есть $$BM = \frac{1}{2}BC$$.

Выразим BC из первого уравнения:

$$BC = 32 - AB - AC$$

Поскольку $$AB = AC$$, то $$BC = 32 - 2AB$$. Тогда $$BM = \frac{1}{2}(32 - 2AB) = 16 - AB$$.

Подставим это во второе уравнение:

$$AB + (16 - AB) + AM = 24$$ $$16 + AM = 24$$ $$AM = 24 - 16$$ $$AM = 8 \text{ см}$$

Ответ: AM = 8 см