Билет № 1. 1. Дайте определение отрезка, луча, угла. Определение развёрнутого угла. Обозначение лучей и углов. 2. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF = 12 см, ∠E = 30°. Найдите гипотенузу DE. 4. Докажите, что угол 1 равен углу 2.

1. Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, включая эти точки. Луч — часть прямой, имеющая начало и продолжающаяся бесконечно в одну сторону. Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом; это начало называется вершиной угла. Развёрнутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами; его градусная мера равна 180°.

Луч обозначают, например, \(\overrightarrow{AB}\): точка A — начало луча, B — точка на нём. Угол обозначают, например, \(\angle ABC\), где B — вершина; также угол можно обозначить одной буквой при единственном угле с этой вершиной или числом.

2. Пусть в треугольниках ABC и A′B′C′ выполнено \(AB=A′B′\), \(AC=A′C′\) и \(\angle BAC=\angle B′A′C′\). Совместим равные стороны AB и A′B′, совместив точки A с A′, а B с B′. Равные углы задают совпадающее направление третьих сторон, а равные AC и A′C′ дают совпадение точек C и C′. Значит, треугольники совмещаются, поэтому они равны. Это признак равенства по двум сторонам и углу между ними.

3. В прямоугольном треугольнике сторона DF лежит напротив угла E = 30°, а DE — гипотенуза. Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: \(DE=2\cdot DF=2\cdot12=24\) см.

4. По отметкам на рисунке \(AB=BC\), поэтому углы при основании равнобедренного треугольника равны: \(\angle BAC=\angle ACB\). Углы 1 и 2 вертикальны соответственно углам \(BAC\) и \(ACB\), поэтому они равны этим углам. Следовательно, \(\angle1=\angle2\).

Ответ: 1) определения приведены; 2) признак доказан; 3) DE = 24 см; 4) ∠1 = ∠2.