Билет № 2. 1. Дайте определение равных фигур. Определение середины отрезка и биссектрисы угла. 2. Докажите признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 37°. Найдите угол при вершине. 4. На прямой отмечены точки A, B, C и D, AB = 8 см, BD = 6 см, BC = 3 см. Найдите AD.

1. Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением. Середина отрезка — точка этого отрезка, делящая его на два равных отрезка. Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла.

2. Пусть в треугольниках ABC и A′B′C′ \(AB=A′B′\), \(\angle A=\angle A′\) и \(\angle B=\angle B′\). Совместим равные стороны AB и A′B′. Равные прилежащие к ним углы задают совпадающие направления сторон AC и A′C′, а также BC и B′C′. Их пересечение определяет одну и ту же вершину C. Следовательно, треугольники совмещаются и равны. Это признак равенства по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, сумма двух углов при основании равна \(37°+37°=74°\). Сумма углов треугольника — 180°, поэтому угол при вершине равен \(180°-74°=106°\).

4. Порядок точек на прямой не указан, поэтому возможны разные значения. Если точки расположены в порядке A—B—C—D (как часто подразумевается в таком условии), то \(AD=AB+BD=8+6=14\) см; данное BC = 3 см подтверждает, что C может лежать между B и D. Если A и D находятся по одну сторону от B, то \(AD=|8-6|=2\) см. Расстояние BC = 3 см не устраняет эту неоднозначность: точку C можно расположить на расстоянии 3 см от B в подходящую сторону. Чтобы получить единственный ответ, нужен порядок точек или рисунок.

Ответ: 1) определения приведены; 2) признак доказан; 3) 106°; 4) при порядке A—B—C—D: 14 см, без указания порядка также возможно 2 см.