Билет 1. 1. Точка, прямая, отрезок. 2. Параллельные прямые. 3. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого. 4. В треугольнике АВС проведены медианы AD и ВЕ. Найдите периметр треугольника АВС если АВ = 8 см, CD = 2 см, АЕ = 4 см.

Решение:

1. Смежные углы: Пусть один угол равен \( x \), тогда второй \( 5x \). Их сумма равна \( 180^ \). \( x + 5x = 180^ \) \( 6x = 180^ \) \( x = 30^ \). Другой угол \( 5 \cdot 30^ = 150^ \).
2. Периметр треугольника: Медианы пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. Если \( AD \) и \( BE \) — медианы, то \( CD=2 \) см и \( AE=4 \) см. Это означает, что \( AC = 2 \cdot CD = 4 \) см (если D — середина AC) и \( AB = 2 \cdot AE = 8 \) см (если E — середина BC). Однако, условие задачи противоречиво: \( CD \) — медиана к стороне \( AB \), а \( AE \) — медиана к стороне \( BC \). Если \( CD=2 \) см, то \( AB=4 \) см. Если \( AE=4 \) см, то \( BC=8 \) см. Если \( AB=8 \) см, то \( CD \) — медиана к \( AB \) и \( CD = 2 \) означает, что \( AC \) и \( BC \) должны быть равны \( \cdot \). Так как \( AB=8 \) см, \( CD=2 \) см, \( AE=4 \) см, то \( AC = 2 \cdot CD = 4 \) см и \( BC = 2 \cdot AE = 8 \) см. Тогда периметр \( P = AB + BC + AC = 8 + 8 + 4 = 20 \) см.

Ответ: 1. Углы равны 30° и 150°. 2. Периметр треугольника равен 20 см.