Билет 9 1. Окружность, ее элементы. 2. Признаки равенства треугольников. 3. Луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, равного 120°. Найдите градусные меры получившихся углов, если один из них на 30° больше другого. 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 2 раза меньше угла А. Найдите углы треугольника.

Решение:

1. Окружность — это множество точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Элементы окружности: центр, радиус (отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности), диаметр (отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки на окружности), хорда (отрезок, соединяющий две точки на окружности), касательная (прямая, имеющая с окружностью одну общую точку).
2. Признаки равенства треугольников:
   • Первый признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
   • Второй признак (по стороне и двум прилежащим углам): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   • Третий признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Задано:
   • ∡AOB = 120°.
   • Луч OC проходит между сторонами ∡AOB.
   • Один из углов (например, ∡AOC) на 30° больше другого (∡COB).
   Найти: ∡AOC и ∡COB.

Решение:

1. Обозначим меньший угол ∡COB как x.
2. Тогда больший угол ∡AOC = x + 30°.
3. Так как луч OC делит ∡AOB на два угла, то их сумма равна величине ∡AOB:

∡AOC + ∡COB = ∡AOB

(x + 30°) + x = 120°

2x + 30° = 120°

2x = 120° - 30°

2x = 90°

x = 90° / 2 = 45°

1. Значит, ∡COB = 45°, а ∡AOC = 45° + 30° = 75°.
2. Проверка: 45° + 75° = 120°.
3. Задано:
   • ∏ABC — равнобедренный с основанием AB.
   • ∡C = ∡A / 2.
   Найти: ∡A, ∡B, ∡C.

Решение:

1. В равнобедренном ∏ABC с основанием AB углы при основании равны: ∡A = ∡B.
2. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°: ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
3. Заменим ∡B на ∡A, а ∡C на ∡A / 2:

∡A + ∡A + ∡A / 2 = 180°

2∡A + ∡A / 2 = 180°

Чтобы избавиться от дроби, умножим все на 2:

4∡A + ∡A = 360°

5∡A = 360°

∡A = 360° / 5 = 72°

1. Так как ∡A = ∡B, то ∡B = 72°.
2. Найдем ∡C:

∡C = ∡A / 2 = 72° / 2 = 36°

Проверка: 72° + 72° + 36° = 180°.

Ответ:

1. • Окружность, ее элементы.
   • Признаки равенства треугольников.
   • ∡AOC = 75°, ∡COB = 45°.
   • ∡A = 72°, ∡B = 72°, ∡C = 36°.