Билет №1. 1. Взаимное расположение прямых на плоскости. Определение, обозначение. 2. Теорема Пифагора (с доказательством). 3. Задача.

Билет №1

1. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Две прямые на плоскости могут быть:

• Пересекающимися: имеют одну общую точку.
• Параллельными: не имеют общих точек.
• Совпадающими: имеют бесконечно много общих точек.

Обозначение:

• Пересекающиеся прямые: \( a \cap b = P \) (где P — точка пересечения).
• Параллельные прямые: \( a \parallel b \).
• Совпадающие прямые: \( a \equiv b \).

2. Теорема Пифагора (с доказательством).

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула: \( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.

Доказательство (одно из):

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c \). Построим квадрат со стороной \( a+b \). Внутри этого квадрата можно расположить:

1. Четыре копии нашего прямоугольного треугольника, образуя в центре квадрат со стороной \( c \). Площадь такого квадрата будет \( c^2 \).


2. Этот же квадрат со стороной \( a+b \) можно разделить на два прямоугольника с площадями \( a^2 \) и \( b^2 \) (или два прямоугольника \( ab \) и один квадрат \( c^2 \) для другого доказательства).

Сравнивая площади, получаем \( (a+b)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2 \) или \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), откуда \( 2ab + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Вычитая \( 2ab \) из обеих частей, получаем \( c^2 = a^2 + b^2 \).

3. Задача.

(Требуется условие задачи для решения.)